포토카드를 전부 모으려면 앨범을 얼마나 사야할까
자랑
저 앨범 샀어요 부럽죠! 오마깠!
포토카드!!! 포스터!!!
I Trust 앨범은 두가지 버전(True / Lie)으로 나뉘어져 있고, 앨범 구성은 다음과 같습니다.
- 북릿 (Booklet): 188mm X 257mm / 100P (버전 별 디자인 상이)
- 슬리브 (Sleeve): 188mm X 180mm (버전 별 디자인 상이)
- 알판 (CD): 1종 (버전별 디자인 상이)
- 알판 봉투 (CD Package): 188mm X 257mm / 1종 (버전 별 디자인 동일)
- 브로슈어 (Brochure): 250mm X 360mm / 16P / 6종 중 랜덤 1종 (버전별 디자인 동일)
- 미니 포스터 (Mini Poster): 360mm X 500mm / 12종 중 랜덤 1종 삽입 (버전 별 디자인 상이)
- 포토카드 (Photocard): 88mm X 64mm / 18종 중 랜덤 1종 삽입 (버전 별 디자인 동일)
- 투명 포토카드 (Translucent Photocard): 88mm X 64mm / 12종 중 랜덤 1종 삽입 (버전 별 디자인 동일)
- 초도 한정 렌티큘러 포토카드 (Lenticular Photocard): 88mm X 64mm / 2종 중 랜덤 1종 삽입
- 초도 한정 포스터 (Poster): 750mm X 520mm / 6종 중 랜덤 1종 증정
중요한 요소만 표로 정리해보았습니다.
| 항목 | 포함 종류 / 총 종류 |
|---|---|
| 브로슈어 | 1 / 6 |
| 미니 포스터 | 1 / 6, 0 / 6 (버전 별 상이) |
| 포토 카드 | 1 / 18 |
| 투명 포토카드 | 1 / 12 |
| 렌티큘러 포토카드 | 1 / 2 |
| 포스터 | 1 / 6 |
모든 굿즈를 다 모으려면?
쿠폰 수집가 문제라는 유명한 문제가 이미 연구되어 있습니다.
쿠폰을 한번 구매할때마다, 랜덤으로 한종류의 쿠폰을 얻게 된다고 해봅시다. 그렇다면, n종류의 쿠폰을 모두 모으기 위해서는 평균적으로 몇번 쿠폰을 구매해야 할까요?
이런 필요한 쿠폰 횟수를 구하는걸 쿠폰 수집가 문제라고 합니다. 쿠폰을 앨범 굿즈로 바꾸면, 우리가 풀어야하는 문제와 같다는 것을 알 수 있습니다 😊😊
계산기
가장 모으기 어려운 굿즈 종류
평균적으로 ??번 구매해야합니다!
쿠폰 수집가 문제 풀기
수식에 익숙하지 않으신 분은 넘기셔도 됩니다. (그래도 한번 읽어보세요!!)
$n$종류의 쿠폰을 전부 모으기 위해 사야하는 횟수를 $T$, $i-1$ 종류의 쿠폰을 모은 후, $i$ 종류 쿠폰을 (새로운 쿠폰 하나 더) 모으기 위해 사야하는 횟수를 $t_i$라고 정의합시다.
그렇다면 기댓값 $E(T)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[E(T) = E(t_1) + E(t_2) + ...\ + E(t_n)\]“하나 모으는 평균 구매량” $E(t_1)$ + “하나 모은 상태에서, 두종류 모으기까지 평균 구매량” $E(t_2)$ + “두종류 모으고 세종류 모으기까지 평균 구매량” $E(t_3)$ …..
이런식으로, 전부 합하면 $E(T)$, 즉 n종류 전체를 모으기 위한 평균 구매량이 완성됩니다.
이제 $E(t_i)$ 를 구해야 합니다.
문제에서 유추할 수 있다시피, 새로운 쿠폰(i번째 종류)을 뽑을 확률은 다음과 같습니다. (성공 확률)
\[p_i = {n - (i-1) \over n}\]그렇다면 평균적으로 몇번을 시도해야 성공할 수 있을까요? 이는 기하분포로 설명할 수 있습니다. 기하 분포는 대략 “처음 성공할 때까지 몇번을 시도했느냐”에 대한 분포를 의미합니다. 기하분포의 평균은 다음과 같이 알려져 있습니다.
\[E(t_i) = {1 \over p_i}\]간단하게 예를 들어봅시다. 만약 6종류의 굿즈 중 이미 2종류를 모았다면, 3종류의 굿즈를 모으기 위해선
\[p_3 = {6 - (3-1) \over 6} = {2 \over 3} \\ E(t_3) = {1 \over p_3} = 1.5\]평균적으로 1.5개의 앨범을 더 사야한다는 뜻이죠!
결국 전부 모으기 위해서는
\[E(T) = E(t_1) + E(t_2) + ... \ + E(t_n) \\ = {n\over n} + {n \over n-1} + ... \ + {n \over 1} \\ = n \Big( {1 \over n} + {1 \over n-1} + ... \ + {1 \over 1} \Big) \\ = n \sum_{i=1}^n {1 \over i}\]결론적으로 다음만 계산하면 됩니다.
\[E(T) = n \sum_{i=1}^n {1 \over i}\]예를 들어 봅시다. 5종류의 굿즈를 모두 모으기 위해서는
\[E(T) = 5 \times \Big({1} + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} \Big) \\ = 11.4166666...\]평균적으로 12개를 사면 되겠네요!
실제 앨범과의 차이점
실제 앨범 안에는 포토카드, 포스터 등 다양한 굿즈가 각양각색 종류로 들어있습니다. 포스터, 포토카드 다 포함해서 모으고 싶으면 어떻게 계산해야할까요.
이때는 가장 모으기 어려운 (가장 종류가 많은) 굿즈만 고려하면 됩니다. 나머지 굿즈는 해당 굿즈를 모으는 중에 다 모을 수 있을 것이라 기대할 수 있습니다. 물론 평균적으로 그렇다는 이야기입니다.
따라서 제가 구매한 I Trust 앨범은 포토카드(18종류)만 고려하면 됩니다. 대략적으로 63번 구매하면 다 모을 수 있네요 😂 나머지 굿즈들은 63번 구매하는 중간에 다 모일 겁니다.
- 미니 포스터 같은 경우, 버전별로 절반씩 나눠서 산다고 가정합시다. Ex) True 32개, Lie 31개. 그렇다면 63개를 구매했을 때 어느정도 전부 모을 수 있습니다. 왜냐하면 6개를 전부 모으기 위해서는 평균적으로 15번 구매해야하기 때문입니다.
최애 굿즈만 다 모으려면?
63개의 앨범은 너무나도 많습니다.. 다음 생각해볼 주제는 최애 굿즈만 모으는 경우 입니다.
위에서 설명한 $t_i$의 정의를 살짝 수정해봅시다.
$t_i$는 $i-1$종류의 최애굿즈를 모은 상태에서 $i$종류의 최애굿즈를 모으기 위한 구매횟수.
자연스레 이에 맞는 성공확률은
\[p_i = {\text{최애 굿즈 종류} - (i-1) \over n}\]위에서 설명한 과정을 생각하면서, 직접 계산해보세요
\[E(\text{최애 다모으기 위한 횟수}) = n \sum_{i=1}^{\text{최애 굿즈 종류}} {1 \over i}\]예시
여기서 최애 포토카드를 다 모으기 위해서는 (포토카드 18장 중 3장)
\[18 \times (1 +1/2 + 1/3) = 33\]평균적으로 33개의 앨범을 구매해야 합니다 😂 절반은.. 줄어들었네요…
계산기
가장 모으기 어려운 굿즈 종류
이 중, 최애 굿즈 종류
평균적으로 ??번 구매해야합니다!
결론
인간은 사회를 이루고 서로 의사소통할 수 있는 존재입니다. 포토카드 교환을 통해 원하는 콜렉션을 완성합시다. 😎
너무 과몰입해서 돈을 모두 쏟아붓는 덕질 라이프는 매우 위험하니 자제하시구 다들 건강한 덕질하세요!